Probleme cu derivate și nu numai/Teoreme importante

Proprietatea lui Darboux

Funcțiile continue au proprietatea remarcabilă de a transforma un interval oarecare tot într-un interval. Această proprietate este cunoscută sub numele de proprietatea lui Darboux.

Fie $I$ un interval. Se spune că funcția $f:I\to ℝ$ are proprietatea lui Darboux pe intervalul $I,$ dacă pentru orice puncte $a,b\in I,a<b$ și oricare număr real $\lambda$ situat între $f(a)$ și $f(b)$ există cel puțin un punct $x_{\lambda }$ din intervalul $(a,b)$ astfel încât $f(x_{\lambda })=\lambda .$

Teoremă (Cauchy-Weierstrass-Bolzano)

Orice funcție continuă $f:I\to ℝ,I$ interval, are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Corolar de localizare a unei rădăcini

Fie $f:[a,b]\to ℝ$ o funcție continuă pentru care $f(a)f(b)\le 0.$ Atunci există cel puțin un punct $c\in [a,b]$ astfel încât $f(c)=0.$

Altfel spus, dacă o funcție continuă are valori de semne contrare la capetele unui interval, atunci ea se anulează cel puțin o dată pe interval.

Teoremă (Weierstrass)

Fie $f:[a,b]\to ℝ$ o funcție continuă. Atunci:

• $f$ este mărginită
• $f$ își atinge marginile pe acest interval

Altfel spus, orice funcție continuă pe un interval compact este mărginită și își atinge marginile pe compact.