Analiză matematică/Topologie pe R

În cele ce urmează se vor studia, pe mulțimea numerelor reale $ℝ,$ concepte ca vecinătate, convergență și limită, noțiuni specifice unui spațiu topologic.

Vecinătăți

Ilustrarea vecinătăţii $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ a punctului $a$

Fie $x_0\in ℝ$ un punct situat pe dreapta reală. Se va numi vecinătate a lui $x_0$ orice mulțime $V$ care conține un interval deschis $(a,b)$ care conține pe $x_0,$ deci $x_0\in (a,b)\subset V.$

Vecinătățile lui $x_0$ posedă următoarele proprietăți:

1) Orice mulțime $U$ care conține pe $V$ este tot o vecinătate a lui $x_0,$ deoarece   $U\supset V\supset (a,b).$

2) Intersecția a două vecinătăți ale lui $x_0$ este tot o vecinătate a lui $x_0.$

3) Oricare ar fi punctele $x\ne y$ de pe dreapta reală, există o vecinătate $V$ a lui $x$ și o vecinătate $W$ a lui $y$ fără puncte comune: $V\cap W=\mathrm{\varnothing }.$

Dacă $x<y,$ există un număr $c$ astfel încât $x<c<y;$ vecinătățile $V=(a,c),W=(c,b),a<x,y<b$ îndeplinesc condiția cerută, deoarece $(a,c)\cap (c,b)=\mathrm{\varnothing }.$

În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice:

$|x-x_0|<\epsilon$ sau $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ),\epsilon >0.$

Mulțimi închise, mulțimi deschise

Un punct $x_0$ este interior unei mulțimi $A$ dacă există o vecinătate $(a,b)$ a lui $x_0$ conținută în $A,$ deci:

$x_0\in (a,b)\subseteq A.$

Un punct $x_0$ este exterior unei mulțimi $A$ dacă există o vecinătate a lui $x_0$ ale cărei puncte aparțin lui $𝒞A.$

Un punct $x_0$ este punct frontieră al unei mulțimi $A$ dacă orice vecinătate a lui $x_0$ conține puncte ale lui $A$ și ale lui $𝒞A.$

Exemplu: Pentru intervalul închis $[1,3],$ punctul $x_1=2$ este interior, $x_2=3$ este punct frontieră, iar $x_3=4$ este punct exterior.

O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă.

Exemplu: Mulțimile: $(a,b),(a,b)\cup (c,d),ℝ($ unde $a,b,c,d\in ℝ,a<b<c<d)$ sunt mulțimi deschise.

Teorema lui Weierstrass-Bolzano

Teoremă. O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație. Fie $A$ o mulțime mărginită și infinită de puncte. Fiind mărginită, rezultă că toate punctele sale aparțin unui segment $[a,b]$ cu $a,b$ numere raționale. Se divide segmentul $[a,b]$ în două părți egale cu ajutorul punctului $c.$ Deoarece mulțimea $A$ este infinită, cel puțin unul din segmentele $[a,c],[c,b]$ conține o infinitate de puncte din $A.$ Se notează acest segment cu $[a_1,b_1].$ Numerele $a_1,b_1$ sunt raționale și $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ ș.a.m.d.

Să presupunem că am găsit două numere raționale $a_n,b_n$ astfel încât segmentul $[a_n,b_n]$ conține o infinitate de puncte din $A.$ Să notăm acea parte cu $[a_{n+1},b_{n+1}].$ Numerele $a_{n+1},b_{n+1}$ sunt raționale și:

$a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n,b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.$

Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:

$[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots \supset [a_n,b_n]\supset \cdots ,$

unde șirurile de numere:

$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$

$b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots$

au următoarele proprietăți:

1) $a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots$

2) $b_1\ge b_2\ge b_3\ge \cdots \ge b_n\ge \cdots$

3) $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$ pentru orice $n\in \mathbb{N},b_p>a_q,p,q\in \mathbb{N};$

4) Segmentul $[a_n,b_n]$ conține o infinitate de puncte ale mulțimii $A.$

Mulțimea lui Cantor

Primii cinci paşi în construcţia mulțimii lui Cantor

Se consideră un șir de intervale: $I_0,I_1,I_2,\cdots ,I_n,\cdots ,$ definit astfel:

Se ia $I_0=[0,1].$ Se elimină din $I_0$ intervalul din mijloc, $(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),$ deci:

$I_1=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{3},1].$

Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele $[0,\frac{1}{3}],[\frac{2}{3},1]$ se elimină intervalul din mijloc:

$I_2=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{3}{9}]\cup [\frac{6}{9},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1].$

Șirul de intervale $I_0,I_1,I_2,\cdots$ are proprietățile:

1. $I_0\supset I_1\supset I_2\supset \cdots$
2. $I_n$ este reuniunea a $2^n$ intervale, fiecare de lungime $3^{-n}.$

Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind  $𝒞=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n.$

Teoremă. Mulțimea lui Cantor $𝒞$ posedă proprietățile:

a) $𝒞$ este mulțime compactă.

b) Mulțimea $𝒞$ nu conține intervale.

c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate); în particular, rezultă că $𝒞$ nu este mulțime numărabilă.

Demonstrație.

a) Mulțimea $𝒞$ este mărginită (inclusă în $[0,1]$) și închisă (intersecție de mulțimi închise).

b) Din contrucție, rezultă:

$𝒞\cap (\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m})=\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }k,m\in \mathbb{N}.$

Dar orice interval $(\alpha ,\beta )$ conține un interval de forma $(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m})$ dacă $m$ este ales cu condiția $3^{-m}<\frac{\beta -\alpha }{6}.$ Rezultă că $𝒞$ nu conține intervale.

c) Fie $a\in 𝒞$ și fie $S$ un interval arbitrar care îl conține pe $a;$ pentru orice $n\in \mathbb{N},$ fie $J_n$ acel interval al lui $I_n$ care îl conține pe $a.$ Se alege un $n_0$ suficient de mare astfel încât $J_{n0}\subseteq S.$ Dacă se notează cu $x_n$ acel capăt al intervalului $J_n$ diferit de $a,$ rezultă $x_n\in 𝒞\cap S,x_n\ne a,\mathrm{\forall }n\ge n_0.$