Analiză matematică/Relație binară

Definiții.

(i) O relație binară $ℛ$ de la mulțimea arbitrară $A\ne \mathrm{\varnothing }$ la mulțimea oarecare $B\ne \mathrm{\varnothing }$ este o submulțime a produsului cartezian $A\times B.$

În acest caz, se spune că $ℛ$ este o relație binară între elemente ale lui $A$ și elemente ale lui $B.$ Dacă $(x,y)\in ℛ\subseteq A\times B$ spunem că $x$ este în relația $ℛ$ cu $y$ și scriem $xℛy.$
$A$ se numește domeniul relației $ℛ,$ iar $B$ codomeniul și se notează:

$D(ℛ)=A,Im(ℛ)=B.$

(ii) În cazul în care $A=B,$ o relație binară (pe $A)$ este o parte a produsului cartezian $A^2$ și se numește omogenă.

(iii) O relație $ℛ$ pe o mulțime $A$ poate fi:

• reflexivă, dacă $xℛx,\mathrm{\forall }x\in A;$
• simetrică, dacă $xℛy\Rightarrow yℛx,\mathrm{\forall }x,y\in A;$
• antisimetrică, dacă $xℛy\wedge yℛx\Rightarrow x=y,\mathrm{\forall }x,y\in A;$
• tranzitivă, dacă $xℛy\wedge yℛz\Rightarrow xℛz,\mathrm{\forall }x,y,z\in A.$

(iv) O relație binară care este reflexivă, simetrică și tranzitivă se numește relație de echivalență, iar dacă este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă se numește relație de ordine.