Analiză matematică/Numere reale/Exerciții

1) Fie $a,b,c,r\in {ℝ}_{+}.$ Atunci:

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0.$   (Inegalitatea lui Schur)

Egalitatea se obține dacă și numai dacă $a=b=c.$

R. Presupunem că $a\ge b\ge c.$ Avem:

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)=(a-b)[a^r(a-c)+b^r(b-c)].$

Ținând cont că $a^r\ge b^r\ge 0,$ și $a-c\ge b-c\ge 0,$ se obține:

$(a-b)[a^r(a-c)-b^r(b-c)]\ge 0,$

de unde rezultă:

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)\ge 0.$

Deoarece: $c^r(c-a)(c-b)\ge 0,$ demonstrația este încheiată.

Generalizare. Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:

Fie $a,b,c,x,y,z\in ℝ,$ cu proprietatea $a\ge b\ge c$ și cu una din inegalitățile:

$x\ge y\ge z$  sau  $z\ge y\ge x.$

Fie $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ și fie $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$ o funcție convexă și monotonă.

Atunci:

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0.$

(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru $x=a,y=b,z=c,k=1,f(x)=x^r.$)

---

2) Dacă $a,b,c\in {ℝ}_{+},$ atunci:

$a^3+b^3+c^3\ge 2{(\frac{b+c}{2}-a)}^3+3abc.$

R. Din inegalitatea mediilor rezultă că $a^3+b^3+c^3\ge 3abc.$ Dacă $\frac{b+c}{2}-a\le 0,$ inegalitatea este evidentă. Acum se va considera că $\frac{b+c}{2}-a>0.$

Se notează:

$E=a^3+b^3+c^3-3abc-2{(\frac{b+c}{2}-a)}^3.$

Punând $b=a+2x$ și $c=a+2y,$ se obține:

$E=12a(x^2-xy+y^2)+6(x+y)(x-y{)}^2\ge 6(x+y)(x-y{)}^2=\frac{3}{2}\left(\frac{b+c}{2}\right)(b-c{)}^2\ge 0.$

Egalitatea are loc dacă $(a,b,c)\sim (1,1,1)$ sau dacă $(a,b,c)\sim (0,1,1).$

Format:Analiză matematică