Vizualizare sursă pentru „Probleme cu derivate și nu numai/Teoreme importante”

====Proprietatea lui Darboux====
[[Image:ProprietateaDarboux.jpg|right|250px]]

Funcțiile continue au proprietatea remarcabilă de a transforma un interval oarecare tot într-un interval. Această proprietate este cunoscută sub numele de '''''proprietatea lui Darboux.'''''



Fie <math>I \!</math> un interval. Se spune că funcția <math>f:I \to \mathbb{R}</math> are proprietatea lui Darboux pe intervalul <math>I, \!</math> dacă pentru orice puncte <font style="vertical-align:4%;"><math>a,b \in I,\; a<b </math></font> și oricare număr real <math>\lambda \!</math> situat între <math>f(a)\!</math> și <math>f(b)\!</math> '''există''' cel puțin un punct <font style="vertical-align:-12%;"><math>x_\lambda \!</math></font> '''din intervalul''' <math>(a,b) \!</math> astfel încât <math>f(x_\lambda)=\lambda. \!</math>



====Teoremă (''Cauchy-Weierstrass-Bolzano'')====
Orice funcție continuă <math>f:I \to \mathbb{R}, \; I</math> interval, are '''proprietatea lui Darboux''' pe acel interval.

====Corolar de localizare a unei rădăcini====
[[Image:CorolarLocalizareRadacina.jpg|right|250px]]
Fie <math>f:[a,b] \to \mathbb{R} \!</math> o funcție continuă pentru care <math>f(a)f(b) \le 0.\; \!</math> Atunci există cel puțin un punct <math>c \in [a,b] \!</math> astfel încât <math>f(c)=0.\!</math>

'''Altfel spus, dacă o funcție continuă are valori de semne contrare la capetele unui interval, atunci ea se anulează cel puțin o dată pe interval.'''


====Teoremă (''Weierstrass'')====
Fie <math>f:[a,b] \to \mathbb{R} </math> o funcție continuă. Atunci:
* <math>f \!</math> este '''mărginită'''
* <math>f \!</math> își '''atinge marginile''' pe acest interval

'''Altfel spus, orice funcție continuă pe un interval compact este mărginită și își atinge marginile pe compact.'''