Analiză matematică/Structuri algebrice/Exerciții

1. Fie $S$ un semigrup finit și $a\in S.$ Să se arate că există $m\in {\mathbb{N}}^{*}$ astfel încât $a^m$ este idempotent.

R. În șirul $\{a,a^2,\cdots ,a^k,\cdots \}$ nu toate elementele sunt distincte deoarece $S$ este finit. Deci există $i,j\in {\mathbb{N}}^{*}$ astfel încât $a^i=a^{i+j}.$ Fie $m\in {\mathbb{N}}^{*},m>i+j.$ Atunci $a^m=a^{m-i}\cdot a^i=a^{m-i}\cdot a^{i+j}=a^{m+j}=a^{m+j-i}\cdot a^i=a^{m+2j}$ etc.

Deci pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{*},a^m=a^{m+kj}.$ Fie $m>i+j,m=k\cdot j.$ Atunci $a^m=a^{2m},$ deci $a^m$ este idempotent.

---

2. Fie $\mathbb{Z}[i]=\{x+iy:i\in ℂ,i^2=-1\}.$ Să se demonstreze că $(\mathbb{Z}[i],\cdot )$ este monoid comutativ. Să se determine $U(\mathbb{Z}[i],\cdot ).$

R. Se arată ușor că $(\mathbb{Z}[i],\cdot )$ este monoid comutativ.

Dacă $z=a+ib\in U(\mathbb{Z}[i],\cdot ),$ atunci $a,b\in \mathbb{Z}$ (în mod evident $a\cdot b\ne 0$) și trebuie ca $1/z\in \mathbb{Z}[i].$ Însă $1/z=a/(a^2+b^2)-i\cdot b/(a^2+b^2),$ deci trebuie ca $a/(a^2+b^2),b/(a^2+b^2)\in \mathbb{Z},$ de unde deducem imediat că $(a,b)$ trebuie să fie egală cu una din perechile:

$(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)$

deci $U(\mathbb{Z}[i],\cdot )=\{-1,1,-i,i\}.$

---

3. Fie $d$ un număr natural liber de pătrate ($d\ge 2$) iar $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{x+y\sqrt{2}|x,y\in \mathbb{Z}\}.$ Definim $N:\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\to \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ prin $N(x+y\sqrt{2})=x^2-d{y}^2,$ pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}.$

Să se demonstreze că $(\mathbb{Z}[d],\cdot )$ este monoid comutativ iar $z\in 𝐔(\mathbb{Z}[d],\cdot )\iff N(z)\in \{\pm 1\}.$

R. Fie $z_i=x_i+y_i\sqrt{d},$ cu $x_i,y_i\in \mathbb{Z},i=1,2.$

Atunci $z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2+d{y}_1{y}_2)+(x_1{y}_2+y_1{x}_2)\sqrt{d}\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}].$ Pentru a demonstra partea a doua a problemei, se arată că $N(z_1{z}_2)=N(z_1)\cdot N(z_2).$ Ținând cont de expresia lui $z_1{z}_2$ de mai înainte, se deduce:

$N(z_1)\cdot N(z_2)=(x_1^2-d{y}_1^2)(x_2^2-d{y}_2^2)=x_1^2{x}_2^2-d{x}_1^2{y}_2^2-d{x}_2^2{y}_1^2+d^2{y}_1^2{y}_2^2=$

$=(x_1^2{x}_2^2+d^2{y}_1^2{y}_2^2)-d(x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_2^2)=(x_1{x}_2+d{y}_1{y}_2{)}^2-d(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2=N(z_1{z}_2).$

Dacă $z\in 𝐔(\mathbb{Z}[\sqrt{d}],\cdot ),$ atunci $(\mathrm{\exists })z^{\prime }\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ astfel încât $z{z}^{\prime }=1,$ deci $N(z{z}^{\prime })=N(1)=1,$ de unde $N(z)\cdot N(z^{\prime })=1,$ adică $N(z)\in \{-1,1\}.$

Reciproc, dacă $z=x+y\sqrt{d}\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ și $N(z)\in \{-1,1\},$ atunci avem:

$1/z=1/(x+y\sqrt{d})=(x-y\sqrt{d})/(x^2-y^{2}d)=(x-y\sqrt{d})/N(z)=x/N(z)-(y/N(z))\sqrt{d},$

deci $1/z\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ (deoarece $x/N(z)=\pm x\in \mathbb{Z}$ iar $y/N(z)=\pm y\in \mathbb{Z}$), de unde se deduce că $z\in 𝐔(\mathbb{Z}[\sqrt{d}],\cdot ).$

---