Analiză matematică/Mulțimi/Exerciții

1. Să se arate că diferența simetrică a două mulțimi are proprietățile:

a)   $A\mathrm{\Delta }B=B\mathrm{\Delta }A$ (comutativitate);

b)   $(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)$ (asociativitate);

c)   $A\mathrm{\Delta }\mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\Delta }A=A(\mathrm{\varnothing }$   este element neutru față de $\mathrm{\Delta });$

d)   $A\cap (B\mathrm{\Delta }C)=(A\cap B)\mathrm{\Delta }(A\cap C)$   (distributivitatea $\cap$ față de $\mathrm{\Delta }$).

R. Se va ține cont că:

$A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (B\cap A).$

---

2. Fie $A,B$ două mulțimi. Să se arate că:

a)   $𝒫(A)\cup 𝒫(B)\subset 𝒫(A\cup B);$

b)   $𝒫(A)\cap 𝒫(B)=𝒫(A\cap B);$

c)   $𝒫(\mathrm{\varnothing })\ne \mathrm{\varnothing }.$

d) Să se scrie elementele mulțimii $𝒫(𝒫(\{a\})).$

R. a) Avem:

$X\in 𝒫(A)\cup 𝒫(B)\iff X\in 𝒫(A)\vee X\in 𝒫(B)\iff X\subset A\vee X\subset B\Rightarrow$

$\Rightarrow X\subset A\cup B\iff X\in 𝒫(A\cup B).$

Deci $𝒫(A)\cup 𝒫(B)\subset 𝒫(A\cup B).$ Această incluziune este în general strictă și se poate demonstra că devine egalitate dacă și numai dacă $A\subset B$ sau $B\subset A.$

b) Demonstrație similară.

c) Se observă că:

$𝒫(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}\ne \mathrm{\varnothing }.$

d)   $𝒫(𝒫(\{a\}))=𝒫(\{\mathrm{\varnothing },\{a\}\})=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{a\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{a\}\}\},$

(adică întâi partea vidă, apoi părțile formate cu un element, apoi cu cele două elemente).

---

3. Fie $(A_i{)}_{i\in I},(B_i{)}_{i\in I}$ două familii de mulțimi și $A$ o mulțime oarecare ($I,J$ - familii de indici). Atunci:

a) $A\cap \left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap A_i);$

b) $A\cup \left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in I}(A\cup A_i);$

c) $\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)\cap \left(\bigcup _{i\in J}{B}_j\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}(A_i\cap B_j);$

d) $\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\cup \left(\bigcap _{i\in J}{B}_j\right)=\bigcap _{(i,j)\in I\times J}(A_i\cup B_j).$

---

Format:Analiză matematică