Analiză matematică/Limita unei funcții

Când $x$ se apropie de valoarea limită $c,$ atunci şi $f(x)$ se situează în vecinătatea lui $L.$

Conceptul de limită a unei funcții este o noțiune de bază în cadrul calculului diferențial și integral.

Definiție

Definiție. Fie funcția $f:D\subseteq ℝ\to ℝ,$ iar $x_0$ un punct de acumulare pentru mulțimea $D.$ Elementul $l\in ℝ$ este limita funcției f în punctul $x_0$ și se notează $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$ dacă:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0$ astfel încât pentru orice $x\in D$ cu proprietatea $|x-x_0|<\delta (\epsilon )$ să se verifice inegalitatea $|f(x-f(x_0)|<\epsilon .$

Definiție. Se spune că funcția $f:D\to ℝ$ are limita $l$ (finită sau infinită) în punctul $x_0$ dacă pentru orice șir $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergent către $x_0(x_n\in D,x_n\ne x_0)$ șirul valorilor funcției $(f(x_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ este convergent către $l.$

Se poate demonstra că cele două definiții sunt echivalente.

Exemple

Graficul lui $f(x)=\frac{1}{x},x\ne 0.$

1) Valorile funcției $f:{ℝ}^{*}\to {ℝ}^{*},f(x)=\frac{1}{x}$ tind către zero când argumentul tinde către $+\mathrm{\infty }$   sau   $-\mathrm{\infty }.$

2) Considerăm funcția $f:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,f(x)=\frac{\sin x}{x}.$ Deși funcția nu este definită în $x=0,$ se poate observa că atunci când $x\to 0,$ valorile funcției se apropie de 1:

x	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Se va demonstra ulterior că: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$