Analiză matematică/Integrale cu parametru

Fie o mulțime nevidă $A$ și $[a,b]\subset ℝ$ un interval compact. Fie $f:[a,b]\to ℝ$ o funcție de două variabile reale astfel încât pentru orice $y\in A$ aplicația $x\mapsto f(x,y)\in ℝ$ este integrabilă Riemann. Funcția definită prin:

$F:A\to ℝ,F(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$

se numește integrală cu parametru.

Proprietăți

Continuitatea integralei cu parametru

Dacă $f:[a,b]\times A\mapsto ℝ$ este continuă, atunci integrala cu parametru $F(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$ este funcție continuă.

Formula lui Leibniz de derivare

Fie $f:[a,b]\times (c,d)\mapsto ℝ$ o funcție continuă astfel încât derivata parțială $\frac{\partial f}{\partial y}$ există și este continuă pe $[a,b]\times (c,d).$ Atunci integrala cu parametru $F(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$ este derivabilă și

$F^{\prime }(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx,\mathrm{\forall }y\in (c,d).$