Analiză matematică/Definiția integralei curbilinii

Integrala curbilinie de speţa întâi

Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare. Mai precis, dat fiind intervalul de integrare $[a,b]$, s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar. Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.

Definiţie. Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.

Fie

$(𝒞)\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t),t\in [a,b],\\ z=z(t)\end{array}$

o curbă netedă în spaţiu şi $F:𝒟\subset {ℝ}^3\to ℝ$ astfel încât $(𝒞)\subset 𝒟.$ Fie de asemenea:

$\mathrm{\Delta }=\{t_0,t_1,\cdots ,t_n\},$ cu $a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b$

o diviziune a intervalului $[a,b],$ care determină pe $(𝒞)$ punctele:

$A_0(t_0),A_1(t_1),\cdots ,A_n(t_n).$

Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:

$l_{\mathrm{\Delta }}=\sum _{i=1}^n\sqrt{[x(t_i)-x(t_{i-1}){]}^2+[y(t_i)-y(t_{i-1}){]}^2+[z(t_i)-z(t_{i-1}){]}^2}.$

Definiţie. Curba $(𝒞)$ este rectificabilă dacă mulţimea $\{l_{\mathrm{\Delta }}|\mathrm{\Delta }$ este o diviziune a lui $[a,b]\}$ este majorată. Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei $(𝒞)$ şi se notează $l_{𝒞}.$

Teoremă. Dacă

$(𝒞)\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t),t\in [a,b],\\ z=z(t)\end{array}$

este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi:

$l_{𝒞}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}.$