Probleme cu derivate și nu numai/Continuitatea funcțiilor

Ce înseamnă funcție continuă?

Fie funcția $f:E\to ℝ$ și $a\in E\cap E^{\prime }.$ Se spune că funcția $f$ este continuă în punctul a, dacă există $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$

Punctul a se numește punct de continuitate pentru funcția $f$.

O funcție $f:E\to ℝ$ este discontinuă în punctul $a\in E,$ dacă nu este continuă în acest punct.

Punctul a se numește punct de discontinuitate al funcției $f$.

Un exemplu simplu:

Studiați continuitatea funcției $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3,& \text{pentru }x\le 3\\ 3x^2,& \text{pentru }x>3\end{array}$ în punctul $a=3$

Pentru ca funcția să fie continuă în punctul a = 3 trebuie îndeplinite, conform definiției, două condiții:

• să existe $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$.

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ să fie egală cu $f(3)$.

În cazul în care prima condiție nu este îndeplinită, atunci funcția nu este continuă în acel punct. Pentru a verifica această primă condiție, a existenței limitei, se calculează limitele laterale în punctul a = 3, astfel:

$l_s(3)=\underset{x\nearrow 3}{\lim }f(x)=\underset{x\nearrow 3}{\lim }{x}^3=27$

$l_d(3)=\underset{x\searrow 3}{\lim }f(x)=\underset{x\searrow 3}{\lim }3x^2=27$

Deci, limita există, $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=27.$

Acum trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = 3, astfel: $f(3)=x^3=27.$

Observăm că $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=27=f(3),$ deci funcția $f$ este continuă în punctul a = 3.

Continuitate vs discontinuitate...

Fie $x=a\in E$ punct de discontinuitate pentru $f.$

• Punctul se numește punct de discontinuitate de speța întâi pentru funția $f,$ dacă are limite laterale finite în a.
• Punctul se numește punct de discontinuitate de speța a doua pentru funția $f,$ dacă nu este punct de discontinuitate de speța întâi, adică dacă cel puțin una din limitele laterale $l_s(a),l_d(a)$ nu există sau este infinită.

Exemple de funcții continue:

Dacă funcția $f$ este continuă în orice punct al domeniului de definiție, atunci spunem că funcția este continuă, fără a mai indica mulțimea pe care $f$ are această proprietate.

Funcțiile elementare sunt funcții continue. Funcțiile elementare sunt următoarele:

• Funcția polinomială
• Funcția rațională
• Funcția radical
• Funcția putere
• Funcția exponențială
• Funcția logaritmică
• Funcțiile trigonometrice directe sin, cos, tg, ctg
• Funcțiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg