Analiză matematică/Integrale duble/Exerciții

1. Să se afle volumul solidului $S$ mărginit de paraboloidul eliptic $x^2+2y^2=16,$ de planele $x=2,y=2$ şi cele trei plane de coordonate.

R. Se observă că $S$ este solidul care rămâne între suprafaţa $z=16-x^2-2y^2$ şi deasupra pătratului $R=[0,2]\times [0,2].$ Folosind teorema lui Fubini, rezultă:

$\underset{𝐑}{\iint }(16-x^2-2y^2)dA=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}(16-x^2-2y^2)dxdy=$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(16x-\frac{x^3}{3}-2y^{2}x){|}_0^{2}dy=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(\frac{88}{3}-4y^2)dy=48.$

---

2. Să se calculeze integrala dublă:

$\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)dxdy$, $D$ fiind domeniul limitat de cercul de ecuaţie $x^2+y^2=2ax.$

R. Ecuaţia domeniului $D$ se mai poate scrie:

$(x-a{)}^2+y^2=a^2,$

deci aceasta defineşte cercul cu centrul în punctul de coordonate $(a,0)$ şi de rază $a.$ Deci este convenabil să utilizăm coordonatele polare pentru calculul integralei duble date.

Se face schimbarea de variabile $(x,y)\to (r,\theta )$, dată prin transformarea $\{\begin{array}{c}x-a=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$

Noul domeniu de integrare (domeniul transformat) este:

$D^{*}=\{(x,y)\in {ℝ}^2|0\le r\le a,0\le \theta \le 2\pi \}.$

Jacobianul acestei transformări este:

$J=\frac{D(x,y)}{D(r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\cdot \sin \theta \\ \sin \theta & r\cdot \cos \theta \end{array}\right|=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r,$

iar $x^2+y^2=a^2+2ar\cos \theta +r^2.$

Integrala de calculat devine:

$\underset{D}{\iint }(a^2+2ar\cos \theta +r^2)rdrd\theta =\underset{0}{\overset{a}{\int }}[\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a^{2}r+2a{r}^2\cos \theta +r^3)d\theta ]dr=2\pi \underset{0}{\overset{a}{\int }}(a^{2}r+r^3)dr=\frac{3\pi a^4}{2}.$

---