Analiză matematică/Funcția exponențială și logaritmică

Funcţia putere

Pentru orice $a \in ℝ$ se defineşte $a^{0} : = 1,$ dacă $a \neq 0; a^{1} = a; a^{n + 1} = a \cdot a^{n} (\forall) n \in ℕ .$

Evident, $0^{n} = 0$ şi $1^{n} = 1 (\forall) n \in ℕ .$

1. Propoziţie. (Proprietăţile lui $a^{n}$ )

1^{o}

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}, a \in ℝ, (\forall) m, n \in ℕ;

2^{o}

(a^{n})^{m} = a^{n m}, a \in ℝ, (\forall) m, n \in ℕ;

3^{o}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \in ℝ^{*}, (\forall) m, n \in ℕ, m \geq n;

4^{o}

(a b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}, a, b \in ℝ, (\forall) n \in ℕ;

5^{o}

(a^{n})^{- 1} = (a^{- 1})^{n} \cdot b^{n}, a \in ℝ^{*}, (\forall) n \in ℕ;

6^{o}

a^{n} > 0, a \in ℝ_{+}^{*}, (\forall) n \in ℕ;

7^{o}

(\forall) a, b \in ℝ_{+}^{*}

avem:

a < b \Rightarrow a^{n} < b^{n}, (\forall) n \in ℕ;