Analiză matematică/Integrala nedefinită/Exerciții

1. Să se calculeze integralele:

a)   $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}},x\in [-1,1];$   b)   $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x,x\in [-1,1].$

R. a)   Se face schimbarea de variabilă: $x=\cos t,$ deci $\mathrm{d}x=-\sin t\mathrm{d}t.$

Mai departe:

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{1}{\sin t}(-\sin t\mathrm{d}t)=-\int \mathrm{d}t=-t+\mathrm{C}=-\arccos x+𝒞=\arcsin x+C.$

S-a ţinut cont că:

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2},\mathrm{\forall }x\in [-1,1].$

b) Se face schimbarea de variabilă: $\sqrt{1-x^2}=t.$

Avem:

$x=\sqrt{1-t^2},\mathrm{d}x=-\frac{t\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}.$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{1}{t}\cdot \sqrt{1-t^2}\cdot \left(\frac{t\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}\right)=-\int \mathrm{d}t=-t+𝒞=\sqrt{1-t^2}+𝒞.$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

Format:Analiză matematică