Analiză matematică/Integrala nedefinită

Fie f o funcţie reală definită pe un interval $I\subset ℝ.$ Se numeşte primitivă a funcţiei $f:I\to ℝ$ o funcţie F definită şi derivabilă pe I cu proprietatea:

$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in I.$

Dacă F este o primitivă a funcţiei f pe I atunci şi $F+𝒞$ este o primitivă a funcţiei f pe I, oricare ar fi constanta $𝒞.$ Reciproc, orice primitivă a lui f este de forma $F+𝒞.$

Se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f şi se notează cu $\int f(x)\mathrm{d}x.$

Proprietăţi ale integralelor nedefinite

a) Dacă $f:I\to ℝ$ admite primitive pe I, iar $a\in ℝ,$ atunci şi $\mathrm{a}f$ admite primitive şi:

$\int af(x)\mathrm{d}x=a\int f(x)\mathrm{d}x.$

b) Dacă f şi g admit primitive pe I atunci $f+g$ admite primitive pe I şi:

$\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$

Integrale nedefinite utilizate frecvent

$f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^n,n\in \mathbb{N}$ $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+𝒞.$

$f:I\to ℝ,I\subset (0,\mathrm{\infty }),f(x)=x^a,a\in ℝ\setminus \{1\}$ $\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+𝒞.$

$f:I\to ℝ,I\subset {ℝ}^{*},f(x)=\frac{1}{x}$ $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+𝒞.$

$f:ℝ\to ℝ,f(x)a^x,a>0,a\ne 1$ $\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+𝒞.$

$f:I\to ℝ,I\subset ℝ\setminus \{-a,a\},f(x)=\frac{1}{x^2-a^2},a\ne 0$ $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+𝒞.$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$