Analiză matematică/Spațiul n-dimensional

Spațiul n-dimensional constituie o generalizare a spațiului unidimensional $ℝ.$

Definiții

Pentru $p\in {\mathbb{N}}^{*},p\ge 2$ fixat, se definește:

${ℝ}^p=\underset{\text{de p ori}}{\underbrace{ℝ\times ℝ\times \cdots \times ℝ}}=\{(x_1,x_2,\cdots ,x_p):x_1,x_2,\cdots ,x_n\in ℝ\}.$

De exemplu:

${ℝ}^2=\{(x,y):x,y\in ℝ\},{ℝ}^3=\{(x,y,z):x,y,z\in ℝ\}.$

Mulțimea ${ℝ}^p$ poate fi înzestrată cu o structură algebrică de spațiu vectorial real, definind adunarea și înmulțirea cu scalari prin:

$(x_1,x_2,\cdots ,x_p)+(y_1,y_2,\cdots ,y_p)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots x_p+y_p).$

$\alpha \cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_p)=(\alpha x_1,\alpha x_2,\cdots ,\alpha x_p)$

pentru orice $(x_1,x_2,\cdots ,x_p),(y_1,y_2,\cdots ,y_p)\in {ℝ}^p$ și $\alpha \in ℝ.$

În timp ce mulțimea numerelor reale este total ordonată, între elementele mulțimii ${ℝ}^p$ nu poate fi definită o relație de ordine totală compatibilă cu structura algebrică, de aceea unele proprietăți ale funcțiilor reale de o variabilă reală nu se pot enunța în cazul funcțiilor reale de mai multe variabile reale.

Spațiu topologic

Definiție. Dacă $X$ este o mulțime nevidă, se spune că se definește o structură topologică (topologie) pe aceasta dacă, pentru fiecare $x\in X,$ se poate evidenția o familie $𝒱(x)$ de submulțimi ale lui $X$ cu proprietățile:

$[V_1]x\in V,\mathrm{\forall }V\in 𝒱(x);$ $[V_2]$   dacă $U,V\in 𝒱(x)$   atunci $U\cap V\in 𝒱(x);$ $[V_3]$ dacă $V\in 𝒱(x)$   și $V\subseteq A$   atunci $A\in 𝒱(x);$ $[V_4]$   oricare ar fi $V\in 𝒱(x),$ există $W\in 𝒱(x)$   încât $V\in 𝒱(y),$ pentru orice $y\in W.$

Familia $𝒱(x)$ se numește sistem de vecinătăți ale punctului $x.$

O mulțime înzestrată cu o structură topologică se numește spațiu topologic.

Spațiu metric

Definiție. Fie $X$ o mulțime nevidă și o funcție $d:X\times X\to ℝ.$ Se spune că perechea $(X,d)$ formează un spațiu metric (în care caz, $d$ se numește metrică sau distanță) dacă sunt satisfăcute proprietățile:

$[D_1]d(x,y)\ge 0,\mathrm{\forall }x,y\in X$ cu $d(x,y)=0\iff x=y;$ $[D_2]d(x,y)=d(y,x),\mathrm{\forall }x,y\in X;$ $[D_3]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z),\mathrm{\forall }x,y,z\in X.$

Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric, $x\in X,r\in ℝ,r>0,$ atunci mulțimea:

$𝒮(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$

se numește sferă deschisă cu centrul în $x$ și rază $r.$

Teoremă. Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric, pentru fiecare $x\in X,$ familia $𝒱(x)=\{V\subset X|\mathrm{\exists }r>0,𝒮(x,r)\subset V\}$ formează un sistem de vecinătăți ale punctului $x;$ deci orice spațiu metric este în mod natural un spațiu topologic.

În plus, pentru orice $x\in X,𝒱(x)$ deține două proprietăți remarcabile:

(i) Dacă $x,y\in X,x\ne y$ atunci există $U\in 𝒱(x),V\in 𝒱(y)$ astfel încât $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$ (proprietatea de separare);

(ii) Există $(V_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ astfel încât:

-- oricare ar fi $V\in 𝕍(x)$ există un $n_0\in {\mathbb{N}}^{*}$ astfel încât $V_{n_0}\subset V$

-- dacă $n,m\in {\mathbb{N}}^{*},n\le m$ atunci $V_n\supset V_m$ (această proprietate este cunoscută sub numele de prima axiomă a numărabilității).

Revenind la ${ℝ}^p$ care este înzestrat cu o structură algebrică pe spațiu vectorial real, se poate defini o structură de spațiu metric utilizând două noțiuni particulare importante, produsul scalar și norma, care se definesc numai în spații vectoriale.

Definiție. Produsul scalar euclidian între elementele lui ${ℝ}^p$ este definit prin:

$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_p{y}_p,$

pentru orice $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_p),y=(y_1,y_2,\cdots ,y_p)\in {ℝ}^p.$