Analiză matematică/Matrice

Fie $M=\{1,2,\cdots ,m\},N=\{1,2,\cdots ,n\}.$ Se numește matrice de tip $(m,n)$ funcția $A:M\times N\to ℂ$ definită prin:

$A\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),$   unde $a_{ij}\in ℂ,i,j=\overline{1,n}.$

Se notează prescurtat: $A=(a_{ij}{)}_{i,j\in M\times N}.$

Mulțimea tuturor matricelor de tip $(m,n)$ se notează ${ℳ}_{mn}(ℂ),$ unde $m$ reprezintă numărul de linii și $n$ numărul de coloane. Dacă $m=n,$ matricea în care numărul de linii este egal cu numărul de coloane se numește matrice pătratică de ordin $n.$

Două matrici $A,B\in {ℳ}_{mn}(ℂ)$ (deci de același tip!) sunt egale dacă $a_{ij}=b_{ij},\mathrm{\forall }(i,j)\in M\times N.$

Operații cu matrice

Adunarea matricelor

Dându-se matricele $A,B\in {ℳ}_{mn}$ cu $A=(a_{ij}{)}_{(i,j)\in M\times N}$ și $B=(b_{ij}{)}_{(i,j)\in M\times N}$ atunci matricea $C=(c_{ij}{)}_{(i,j)\in M\times N}$ este suma primelor două dacă:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\mathrm{\forall }(i,j)\in M\times N.$

Adunarea matricelor posedă următoarele proprietăți:

(i) asociativitate: $(A+B)+C=A+(B+C),\mathrm{\forall }A,B,C\in {ℳ}_{mn};$

(ii) comutativitate: $A+B=B+A,\mathrm{\forall }A,B\in {ℳ}_{mn};$

(iii) existență element neutru $O\in {ℳ}_{mn}$ cu proprietatea: $A+O=O+A,\mathrm{\forall }A\in {ℳ}_{mn}.$