Analiză matematică/Definiția funcției/Exerciții

1. Fie $f:X\to Y$ o funcție. Atunci:

a)   $f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B),\mathrm{\forall }A,B\subset Y$

b)   $f^{-1}({𝒞}_{Y}B)={𝒞}_X{f}^{-1}(B),\mathrm{\forall }B\subset Y.$

R.

a) Să considerăm două mulțimi arbitrare $A,B\subset Y,$ momentan fixate.

Fie $x\in f^{-1}(A\setminus B)\iff f(x)\in A\setminus B\iff (f(x)\in A\wedge f(x)\notin B)\iff$

$\iff (x\in f^{-1}(A)\wedge x\notin f^{-1}(B))\iff x\in f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B).$

Deci $f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B).$

b) Se consideră o mulțime arbitrară $B\subset Y,$ momentan fixată.

Fie $x\in f^{-1}({𝒞}_{Y}B)\iff f(x)\in {𝒞}_{Y}B\iff f(x)\notin B\iff x\notin f^{-1}(B)\iff x\in {𝒞}_X{f}^{-1}(B)$ adică $f^{-1}({𝒞}_{Y}B)={𝒞}_X{f}^{-1}(B).$

---

2. Fie $f:X\to Y$ o funcție. Să se arate:

a)   $f$ este injectivă   $\Rightarrow \mathrm{\exists }g:Y\to X$   injectivă astfel încât $f\circ g=1_X.$

b)   $f$ este surjectivă   $\iff \mathrm{\exists }g:Y\to X$   injectivă astfel încât $f\circ g=1_Y.$

R.

a) Fie $f$ funcția injectivă.

Se definește funcția $g_0:f(X)\to Y$ prin $g_0(f(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X.$ Prelungim pe $g_0$ pe mulțimea $Y$ punând de exemplu $g:Y\to X,$

$g(y)=\{\begin{array}{cc}{g}_0(y),& \text{dacă}y\in f(X)\\ x_0,& \text{dacă}y\in Y\setminus f(X)\end{array},$

unde $x_0$ este un element din mulțimea $X(\ne \mathrm{\varnothing }).$

Atunci $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X,$ adică $g\circ f=1_X$ și evident $g(Y)=X,$ deci $g$ este surjectivă.