Analiză matematică/Serii de funcții

Fie $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ un șir de funcții, $f_n:E\to ℝ.$

Definiție. Se numește serie de funcții o serie de forma:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n=f_1+f_2+\cdots$

Pentru orice punct $x_0\in E$ se poate defini seria numerică $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x_0),$ ce poate fi convergentă sau divergentă.

Definiție. Seria de funcții $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ se numește convergentă în punctul $x_0\in E$ dacă seria numerică $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x_0)$ este convergentă. Mulțimea punctelor $x\in E$ în care seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ este convergentă se numește mulțime de convergență a seriei date și se va nota cu $X.$

Convergență simplă

Definiție. Fie șirul de funcții $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}},f_n:E\to ℝ.$ Se spune că seria de funcții $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ converge simplu către funcția $f$ dacă seria numerică $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ converge la $f(x)$ pentru orice $x\in E.$ Funcția $f$ se numește suma seriei $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n.$

Propoziție. Seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ este simplu convergentă pe $E$ către $f$ dacă și numai dacă pentru orice $\epsilon >0$ și pentru orice $x\in E,$ există un număr $N_{\epsilon ,x}$ astfel încât pentru orice $n\ge N_{\epsilon ,x}$ avem:

$|f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

pentru orice $x\in E.$

Format:Analiză matematică