Analiză matematică/Analiză combinatorie/Exerciții

1) a) Să se determine numărul funcțiilor injective definite pe o mulțime cu $m$ elemente cu valori pe o mulțime cu $n$ elemente, unde $m, n \in ℕ, m \leq n .$

b) Să se determine numărul aplicațiilor bijective ce pot fi definite pe o mulțime cu $n$ elemente.

R.

a) Fie mulțimile $A, B, | A | = m, | B | = n .$ Vom determina numărul aplicațiilor injective $f : A \to B .$ Din definiția injectivității, la argumente diferite $a_{i}, a_{j} \in A, a_{i} \neq a_{j}$ se obțin imagini diferite: $f (a_{i}) \neq f (a_{j}) .$

Dacă $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}},$ unei funcții injective $f : A \to B$ îi corespunde o submulțime ordonată a lui $B$ și anume: $(f (a_{1}), f (a_{2}), \dots, f (a_{m})) .$ Numărul submulțimilor ordonate cu $m$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente este $A_{n}^{m}$

Reciproc, fiecărui aranjament de $n$ elemente luate câte $m$ îi corespunde o unică aplicație injectivă $f : A \to B .$ Așadar, se poate stabili o corespondență bijectivă între mulțimea aplicațiilor injective $f : A \to B$ și mulțimea aranjamentelor de $n$ elemente luate câte $m .$ Deci numărul acestor funcții este $A_{n}^{m} .$

b) Se aplică punctul precedent pentru cazul particular $m = n,$ când orice aplicație injectivă este bijectivă și numărul căutat devine:

A_{n}^{n} = n! .

2) Să se demonstreze următoarele proprietăți ale combinărilor:

a) $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 2}^{k - 1} + \dots + C_{k - 1}^{k - 1};$

b) $C_{n}^{0} C_{m}^{k} + C_{n}^{1} C_{m}^{k - 1} + \dots + C_{n}^{k} C_{m}^{0} = C_{m + n}^{k} .$

Format:Analiză matematică

Analiză matematică/Analiză combinatorie/Exerciții

Meniu de navigare

Căutare