Analiză matematică/Șiruri numerice

În cele ce urmează, se vor considera șirurile de numere reale, cele multidimensionale urmând a fi studiate în capitolele care urmează.

Definiții

Un șir de numere reale este o aplicație $x:\mathbb{N}\to ℝ$ și se utilizează notația $x(n)=x_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$

Un șir $x_n$ se numește monoton dacă satisface una din proprietățile:

• $x_n\le x_{n+1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (șir crescător);
• $x_n\ge x_{n+1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (șir descrescător).

Un șir $x_n$ se numește mărginit dacă există un $M\in {ℝ}_{+}^{*}$ astfel încât $|x_n|\le M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$

Un șir real se numește convergent dacă există un $l\in ℝ,$ numit limita șirului, cu proprietatea:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }n(\epsilon )\in \mathbb{N}$ astfel încât $|x_n-l|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\ge n(\epsilon )$

În acest caz, se notează:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=l.$

Criterii de convergență

Criteriul Cauchy

Definiție. Un șir de numere reale $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ se numește șir fundamental sau șir Cauchy dacă pentru orice $\epsilon >0$ există un $n_0=n_0(\epsilon )\in \mathbb{N}$ astfel încât dacă $m,n\in \mathbb{N},m\ge n_0,n\ge n_0,$ atunci $|x_m-x_n|<\epsilon .$

Observație. În definiția convergenței unui șir apare în mod explicit limita șirului, pe când în definiția unui șir fundamental intervin numai termeni ai șirului, deci aceasta din urmă este o definiție intrinsecă, motiv pentru care teorema următoare este extrem de importantă:

$\text{Teoremă. (Criteriul general de convergență al lui }$ Cauchy) Un șir de numere reale este convergent dacă și numai dacă este un șir fundamental.

Observație. Criteriul  Cauchy nu este valabil în mulțimea $\mathbb{Q}.$ De exemplu șirul $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}},x_n={(1+\frac{1}{n})}^n$ are termenii raționali, dar limita acestuia este un număr irațional, cum se va demonstra ulterior. Din acest motiv se spune că mulțimea $ℝ$ este în raport cu distanța euclidiană un spațiu metric complet.

Criteriul raportului

Dacă șirul $(a_n{)}_n$ are termenii pozitivi, atunci:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n},$

dacă ultima limită există.

Criteriul majorării

Dacă $|a_n-a|\le b$  și   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0,$ atunci $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a.$

Criteriul radicalului

Dacă șirul $(a_n{)}_n$ este convergent și are termenii pozitivi, atunci:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n.$

Numărul e

$\text{Teoremă.}$ Șirurile:

${𝐞}_n={(1+\frac{1}{n})}^n,y_n={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$

sunt convergente și au aceeași limită.

Demonstrație.

(i) Se va demonstra mai întâi că șirul $({𝐞}_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ (de termeni strict pozitivi) este crescător:

$\frac{{𝐞}_{n+1}}{{𝐞}_n}=\frac{(n+2{)}^{n+1}}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^n}=\frac{(n+2{)}^{n+1}}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot {(1-\frac{1}{n+1})}^n.$

Dar, conform inegalității lui Bernoulli, ${(1-\frac{1}{n+1})}^n>1-\frac{n}{(n+1{)}^2}.$ Rezultă că:

$\frac{{𝐞}_{n+1}}{{𝐞}_n}>\frac{(n+1{)}^3+1}{(n+1{)}^3}>1$

și aceasta pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

De aici rezultă că $({𝐞}_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ este șir crescător.

(ii) Acum se va demonstra că $(y_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ este descrescător:

$\frac{y_n}{y_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}\cdot {[1+\frac{1}{n(n+2)}]}^{n+1}>\frac{n+1}{n+2}\cdot \frac{n^2+3n+1}{n(n+2)}=$

$=\frac{n(n+2{)}^2+1}{n(n+2{)}^2}>1,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},$

unde din nou s-a utilizat inegalitatea lui Bernoulli.

(iii) Deoarece ${𝐞}_n<y_n,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},$ rezultă șirul de inegalități:

${𝐞}_1<{𝐞}_2<\cdots <{𝐞}_n<y_n<\cdots <y_2<y_1.$

Deci cele două șiruri sunt monotone și mărginite și, conform teoremei lui Weierstrass, sunt convergente.

În continuare, din inegalitățile:

$0<y_n-{𝐞}_n={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}-{(1+\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{n}\cdot {(1+\frac{1}{n})}^n=$

$=\frac{1}{n}{𝐞}_n\le \frac{y_n}{n}<\frac{y_1}{n}.$

Dar $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{y_1}{n}=0$ și rezultă că:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝐞}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n.$

Această limită este notată cu $𝐞,$ după inițiala lui Leonhard Euler și are valoarea aproximativă:

$𝐞\approx 2,718281828459\cdots .$

Proprietăți ale lui e

$\text{Teoremă.}$ Șirul $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}},$ cu:

$a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!},$

este convergent și are limita $𝐞.$

Teorema Töplitz

Teoremă. Fie o matrice infinită de numere reale $A=(a_{mn}{)}_{(m,n)\in {\mathbb{N}}^{*}\times {\mathbb{N}}^{*}}$ cu proprietatea că există $M\in {ℝ}_{+}^{*},$ astfel încât:

$|a_{k1}|+|a_{k2}|+\cdots +|a_{km}|+\cdots \le M,\mathrm{\forall }k\in N^{*}.$

Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) pentru orice șir convergent de numere reale $(x_n{)}_n$ șirul $(y_n{)}_n$ definit prin $y_n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nk}\cdot x_k$ este convergent și $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n.$

2) (i) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{nm}=0,\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{N}}^{*};$

(ii) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_{n1}+a_{n2}+\cdots +a_{nm}+\cdots )=1.$