Calcul vectorial/Coordonate cilindrice și sferice

Cel mai cunoscut mod de a reprezenta un punct în planul ${ℝ}^2$ îl constituie coordonatele rectangulare $(x,y).$ Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare $(r,\theta ),$ care sunt legate de cele rectangulare prin relațiile:

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$

unde $r\ge 0,0\le \theta \le 2\pi .$

Istoric

În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor și serii infinite, care conținea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.

În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conținea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.

În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitației a lui Newton și modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluție. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.

Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigației după longitudine și latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul $\theta$, măsurat de la Greenwich, este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul $\frac{\pi }{2}-\varphi$ este pozitiv sau negativ.

Coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice $(r,\theta ,z)$ ale unui punct $(x,y,z)$ sunt definite ca:

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z.$   (1)

Pentru a exprima $r,\theta ,z$ cu ajutorul lui $x,y,z$ și pentru a ne asigura că $\theta \in [0,2\pi ],$ putem scrie:

$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{y}{x}& dac\breve{a}x>0,y\ge 0\\ \pi +\arctan \frac{y}{x}& dac\breve{a}x<0\\ 2\pi +\arctan \frac{y}{x}& dac\breve{a}x>0,y<0\end{array}z=z,$

unde $\arctan \frac{y}{x}$ este luat între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}.$ Necesitatea ca $\theta \in [0,2\pi ]$ determină un unic $\theta$ și $r\ge 0$ pentru un anumit $x$ și $y.$ Dacă $x=0,$ atunci $\theta =\frac{\pi }{2}$ pentru $y>0$ și $\frac{3\pi }{2}$ pentru $y<0.$ Dacă $x=y=0,$ atunci $\theta$ nu este definit.

Cu alte cuvinte, pentru orice punct $(x,y,z)$ se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se $(r,\theta ,z),$ tripletul $(x,y,z)$ este complet determinat și invers, dacă restricționăm $\theta$ la intervalul $[0,2\pi ]$ (uneori este convenabil și domeniul $(-\pi ,\pi ]$) și impunem ca $r>0.$

Pentru a înțelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condițiile $0\le \theta <2\pi ,-\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }$ și $r=a$ este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază $a.$

Exemple.

(a) Determinați coordonatele cilindrice ale punctului $6,6,8.$

(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice $(8,\frac{2\pi }{3},-3),$ care sunt coordonatele carteziene?

Soluție.

(a) Avem: $r=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ și $\theta =\arctan \frac{6}{6}=\frac{\pi }{4}.$

Deci coordonatele cilindrice sunt $(6\sqrt{2},\frac{\pi }{4},8).$

(b) Avem $\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$ deci

$x=r\cos \theta =8\cos \frac{2\pi }{3}=-4$

$y=r\sin \theta =8\sin \frac{2\pi }{3}=4\sqrt{3}.$

Deci coordonatele carteziene sunt $(-4,4\sqrt{3},-3).$

Coordonate sferice

Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spațiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului $x𝐢+y𝐣$ (care este $\sqrt{x^2+y^2}$) este acel $r$ din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului $x𝐢+y𝐣+z𝐤$ și anume $\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul $\sqrt{x^2+y^2},$ unghiul $\theta$ și înălțimea $z.$

Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează $\rho$ drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei față de o dreaptă.

Dându-se un punct $(x,y,z)\in {ℝ}^3,$ fie:

$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

și să reprezentăm $x,y$ prin coordonate polare în planul $xy:$

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$   (2)

unde $r=\sqrt{x^2+y^2}$ și $\theta$ este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru $\theta$ care succede formulei (1)]. Coordonata $z$ este dată de:

$z=\rho \cos \varphi ,$

unde $\varphi \in [0,\pi ]$ este unghiul pe care îl face cu $Oz$ raza vectoare $𝐯=x𝐢+y𝐣+z𝐤$ în planul format de $𝐯,Ox.$

Cu ajutorul produsului scalar, se obține:

$\cos \varphi =\frac{𝐯\cdot 𝐤}{\Vert 𝐯\Vert },$ adică $\varphi =\arccos \left(\frac{𝐯\cdot 𝐤}{\Vert 𝐯\Vert }\right).$

Deoarece:

$r=\rho \sin \varphi ,$

putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:

Definiție. Coordonatele sferice ale punctului $(x,y,z)$ reprezintă tripletul $(\rho ,\theta ,\varphi )$ definit astfel: $x=\rho \sin \varphi \cos \theta ,y=\rho \sin \varphi \sin \theta ,z=\rho \cos \varphi ,$ unde: $\rho \ge 0,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \varphi \le \pi .$

Exemple

(a) Determinați coordonatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene $(1,-1,1).$

(b) Determinați coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice $(3,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}).$

(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene $(2,3,-6).$ Determinați coordonatele sferice ale acestuia.

(d) Determinați coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice$(1,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}).$

Soluție.

(a) $\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3},$

$\theta =2\pi +\arctan \frac{y}{x}=2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4},$

$\varphi =\arccos \frac{z}{\rho }=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,955\approx 54,74^{\circ }.$

(b) $x=\rho \sin \varphi \cos \theta =3\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},$

$y=\rho \sin \varphi \sin \theta =3\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}=\frac{3}{2\sqrt{2}},$

$z=\rho \cos \varphi =3\cos \frac{\pi }{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$