Analiză matematică/Funcția exponențială și logaritmică

Funcţia putere

Pentru orice $a\in ℝ$ se defineşte $a^0:=1,$ dacă $a\ne 0;a^1=a;a^{n+1}=a\cdot a^n(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N}.$

Evident, $0^n=0$ şi $1^n=1(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N}.$

1. Propoziţie. (Proprietăţile lui $a^n$)

$1^o$      $a^n\cdot a^m=a^{n+m},a\in ℝ,(\mathrm{\forall })m,n\in \mathbb{N};$

$2^o$      $(a^n{)}^m=a^{nm},a\in ℝ,(\mathrm{\forall })m,n\in \mathbb{N};$

$3^o$      $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\in {ℝ}^{*},(\mathrm{\forall })m,n\in \mathbb{N},m\ge n;$

$4^o$      $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n,a,b\in ℝ,(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N};$

$5^o$      $(a^n{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^n\cdot b^n,a\in {ℝ}^{*},(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N};$

$6^o$      $a^n>0,a\in {ℝ}_{+}^{*},(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N};$

$7^o$       $(\mathrm{\forall })a,b\in {ℝ}_{+}^{*}$ avem: $a<b\Rightarrow a^n<b^n,(\mathrm{\forall })n\in \mathbb{N};$