Analiză matematică/Numere complexe/Exerciții

1. Dacă $z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ este un număr complex, să se arate că:

$\cos n\theta =\frac{1}{2}(z^n+\frac{1}{z^n})$

$\sin n\theta =\frac{1}{2i}(z^n-\frac{1}{z^n}).$

---

2. Să se demonstreze că:

a) ${\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta =\frac{\cos 3\theta +3\cos \theta -{\sin }^3\theta +3\sin \theta }{4};$

b) ${\cos }^4\theta =\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8};$

c) ${\sin }^5\theta =\frac{\sin 5\theta -5\sin 3\theta +10\sin \theta }{16}.$

---

3. Să se demonstreze că:

a) $\sum _{k=1}^n\exp (ik\theta )=\frac{\exp (in\theta )-1}{1-\exp (-i\theta )},$

unde s-a notat $\exp z=e^z,\mathrm{\forall }z\in ℂ.$

b) $\sum _{k=1}^n\exp (ik\theta )=\frac{\exp [i(n+\frac{1}{2})\theta ]-\exp (i\theta /2)}{\exp (i\theta /2)-\exp (-i\theta /2)}.$

Indicație. a) Se utilizează relația:

$1-z^{n+1}=(1-z)(1+z+z^2+\cdots +z^n),\mathrm{\forall }z\in ℂ.$

b) Se utilizează punctul a).

---

4. Să se demonstreze identitatea lui Lagrange:

$1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta =\frac{1}{2}+\frac{\sin [(n+1/2)\theta ]}{2\sin \frac{\theta }{2}},$

pentru $0<\theta <2\pi .$

Indicație. Se aplică 3 b).

---

5. Să se determine rădăcinile pătrate ale următoarelor numere:

a) $z=-3+4i$

b) $z=-5-12i$

c) $z=-24-10i$

d) $z=-i.$

R. a) Fie $Z=X+iY$ o rădăcină pătrată a lui $z.$ Necunoscutele $X,Y$ verifică sistemul:

$\{\begin{array}{c}{X}^2+Y^2=5\\ X^2-Y^2=-3\\ XY>0.\end{array}$

Vor rezulta în final două soluții: $Z_1=-1-2i,Z_2=1+2i.$

b) $Z_1=-2+3i,Z_2=2-3i.$

c) $Z_1=-1+5i,Z_2=1-5i.$

d) $Z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),Z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i).$

---

6. Să se determine rădăcinile polinomului:

$P(z)=z^2+iz+5-5i.$

R. Discriminantul este: $\mathrm{\Delta }=-21+20i.$ Una din rădăcinile pătrate ale acestuia este $2+5i.$ Rădăcinile polinomului sunt: $-1-3i,1+2i.$

---

7. Fie $\theta \in [-\pi ,\pi ].$ Să se determine modulul și argumentul numărului complex:

a) $z=e^{i\theta }+1;$

b) $z=e^{i\theta }-1;$

c) $z=\frac{\cos \theta +i\sin \theta +1}{\cos \theta +i\sin \theta -1}.$

R. a) Se ține cont de relația:

$z=e^{i\theta }+1=e^{i\frac{\theta }{2}}(e^{i\frac{\theta }{2}}+e^{-i\frac{\theta }{2}}=2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\theta }{2}}.)$

Dar $\cos \frac{\theta }{2}\ge 0,$ deoarece $\theta \in [-\pi ,\pi ].$

Rezultă:

$|z|=2\cos \frac{\theta }{2},\arg (z)=\frac{\theta }{2}[2\pi ].$

b) În mod similar se obține:

$|z|=|\cot \frac{\theta }{2}|,\arg (z)=\{\begin{array}{cc}-\frac{\pi }{2},& dac\breve{a}\theta \in [0,\pi )\\ -\frac{3\pi }{2}[2\pi ],& dac\breve{a}\theta \in (-\pi ,0)\end{array}.$

c)   $z=\frac{e^{i\frac{\theta }{2}}2\cos \frac{\theta }{2}}{e^{i\frac{\theta }{2}}2i\sin \frac{\theta }{2}}=\cot \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\pi }{2}}.$

$|z|=|\cot \frac{\theta }{2}|,\arg (z)=\{\begin{array}{cc}-\frac{\pi }{2},& dac\breve{a}\theta \in [0,\pi )\\ -\frac{3\pi }{2}[2\pi ],& dac\breve{a}\theta \in (-\pi ,0)\end{array}.$

---