Analiză matematică/Numere complexe

Numerele complexe au fost introduse ca răspuns la necesitatea rezolvării ecuațiilor de gradul al doilea care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.

Definirea numerelor complexe

Soluțiile ecuației de gradul al doilea:

$a{x}^2+bx+c=0,$ unde $a,b,c\in ℝ,a\ne 0,$

sunt date de:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$

unde $\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}$ este discriminantul ecuației. Dacă $\mathrm{\Delta }<0,$ atunci ecuația nu admite soluții reale. Se definește unitatea imaginară i cu proprietatea:

$i^2=-1.$

Mulțimea numerelor complexe $ℂ$ este formată din numerele de forma $z=\alpha +i\beta ,$ unde $\alpha ,\beta \in ℝ.$

Numărul real $\alpha$ se numește partea reală a numărului complex $z,$ iar $\beta$ partea imaginară. Se notează:

$Re\{z\}=\alpha ,Im\{z\}=\beta .$

Prin introducerea numerelor complexe, ecuația de gradul al doilea admite soluții și pentru $\mathrm{\Delta }<0:$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Algebra numerelor complexe

Un număr complex poate fi scris:

$z=x+iy,$

unde $x=Re\{z\},y=Im\{z\}\in ℝ.$

Două numere complexe $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ sunt egale dacă și numai dacă părțile reale și respectiv imaginare ale acestora sunt egale:

$z_1=z_2\iff x_1=x_2$ și $y_1=y_2.$

Adunarea și scăderea numerelor complexe $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ se definește astfel:

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

$z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$

Înmulțirea numerelor complexe $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ se definește astfel:

$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Caz particular: Dacă unul din numere este real $(\alpha \in ℝ),$ prin înmulțirea acestuia cu numărul complex $z=x+iy$ se obține:

$\alpha z=\alpha x+i\alpha y.$

Proprietățile înmulțirii numerelor complexe:

• asociativitate: $z_1(z_2{z}_3)=(z_1{z}_2)z_3,\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ;$
• comutativitate: $z_1{z}_2=z_2{z}_1,\mathrm{\forall }z\in ℂ;$
• existența elementului neutru 1: $z\times 1=z,\mathrm{\forall }z\in ℂ.$
• orice număr complex $z=a+ib$ (de modul nenul, adică $a\ne 0$ sau $b\ne 0$) admite un invers dat de:

$z^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}.$

Toate aceste patru proprietăți arată că $({ℂ}^{*},\times )$ este un grup comutativ.

Modulul numărului complex $z=x+iy$ se definește ca fiind:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2},$

iar conjugatul acestuia este:

$\bar{z}=x-iy.$

Se observă că:

$\overline{\stackrel{‾}{z}}=z,z\bar{z}=|z{|}^2,$  pentru orice $z\in ℂ.$

Planul complex

Reprezentarea numărului complex $z=a+ib$

Orice număr complex poate fi reprezentat în mod unic în plan cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangular, ale cărui axe sunt axa reală și axa imaginară. Reciproc, oricărui punct din plan îi corespunde un număr complex, numit afixul punctului respectiv.

Formula lui Moivre

Formula lui Moivre se poate demonstra prin inducție matematică:

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=(\cos n\theta +i\sin n\theta ),$ pentru $n\in \mathbb{N}.$

Format:Analiză matematică