Vizualizare sursă pentru „Rapoarte si proportii”

==Raport==

Prin raportul numerelor raționale pozitive a și b, cu b≠0, se înțelege numărul rațional a:b, notat <math>\tfrac{a}{b}</math>. Scrierea <math>\tfrac{a}{b}</math> este raportul, iar a și b sunt termenii raportului. 
<br />
<br />
'''Valoarea unui raport''' <math>\tfrac{a}{b}</math> este numărul c care se obține din relația c=a:b.
<br />
<br />
'''Exemplu:'''  Într-o clasă sunt 12 fete și 16 băieți. Spunem că raportul dintre numărul fetelor și cel al băieților este egal cu <math>\tfrac{12}{16}</math>. Valoarea raportului 12:16=0,75. 
<br />
<br />
'''1.''' La scrierea raportului a două mărimi de aceeași natură, acestea trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură. De exemplu, dacă lățimea unui dreptunghi este egală cu 120 cm,iar lungimea este egală cu 3,6 m, pentru a afla raportul dintre lățime si lungime, întâi transformăm L=3,6m =360 cm și apoi avem  <math>\tfrac{l}{L}</math> = <math>\tfrac{120}{360}</math>cm=<math>\tfrac{1}{3}</math>.
<br />
<br />
'''2.''' Se pot forma rapoarte și cu cantități de tipuri diferite. De exemplu, dacă unui om îi trebuie 3 ore pentru a parcurge 12 km, atunci se formează raportul <math>\tfrac{12}{3}</math><math>\tfrac{km}{h}</math> = 4km/h. 
<br />
<br />
'''Exemple de rapoarte utilizate în practică'''
<br />
<br />
'''1.'''Scara unei hărți este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța pe teren.
<br />
<br /> 
'''2.'''Concentrația unei soluții este raportul dintre masa substanței care se dizolva și masa soluției.
<br />
<br />
'''3.'''Titlul unui aliaj este raportul dintr masa metalului prețios si masa aliajului.
<br />
<br />

'''Exemple'''
<br />
<br />
'''a.'''  Pe o hartă, unui segment ce are lungimea de 1 cm îi corespunde o distanță în teren egala cu 2 km. Deoarece 2km=200 000 cm , scara hărții este 1:200000.
<br />
<br />
'''b.'''  În 190g de apă se dizolvă 10g sare. Concentrația soluției este egală cu : <math>\tfrac{10}{190+10}=\tfrac{10}{200}=\tfrac{5}{100}</math>=5%
<br />
<br />
'''c.'''  Un aliaj conține 240 g aur si 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu : <math>\tfrac{240}{240+960}=\tfrac{240}{1200}=\tfrac{1}{5}=\tfrac{200}{1000}</math>=0,2
<br />

==Raportul Procentual== 

Este un raport de forma <math>\tfrac{p}{100}</math> care se notează p%.
Daca p% din x este egal cu y, scriem <math>\tfrac{p}{100}</math>∙x=y. În această relație p% reprezintă raportul procentual, ceea ce scrie după cuvântul din, adică x, reprezintă întregul, iar y reprezintă partea corespunzătoare din întreg.
<br />
Avem 3 tipuri de aplicații:
<br />
'''a.''' Aflarea raportului procentual (se cere p%): <math>\tfrac{p}{100}</math>∙x=y.
<br />
'''b.''' Determinarea a p% dintr-un număr dat x(se cere y) : p% din x=<math>\tfrac{p}{100}</math>∙x.
<br />
<br />
'''c.'''  Aflarea unui număr când se știe p% din el (se cere x): 
<br />
<br />
p% din x=y<=><math>\tfrac{p}{100}</math>∙x=y=>y=x:<math>\tfrac{p}{100}</math>=x∙<math>\tfrac{100}{y}</math>
<br />
<br />
'''Exemple'''
<br />
'''a.''' O gospodina a cheltuit 90 lei din cei 150 de lei pe care îi avea. Cât la sută din sumă a cheltuit?
<br />
Rezolvare: Avem p%=<math>\tfrac{90}{150}</math>∙100=<math>\tfrac{3}{5}</math>∙100=60=≫p%=60%.
<br />
<br />
'''b.''' O gospodină avea la ea 150 lei și a cheltuit la magazin 60% din sumă. Ce sumă a cheltuit?
<br />
Rezolvare. Știm raportul procentual și întregul : 60% din 150=<math>\tfrac{60}{100}</math>∙150=6∙15=90 lei
<br />
<br />
'''c.''' O gospodină a cheltuit 60% din suma pe care o avea, adică 90 lei. Ce sumă avea gospodina la ea?
<br />
Rezolvare. Fie suma pe care o avea gospodina. Atunci : 
60% din s =90 <=> <math>\tfrac{60}{100}</math>∙s=90<=>s=90∶ <math>\tfrac{3}{5}</math><=>s=90∙<math>\tfrac{5}{3}</math>=150 lei

==Creșteri și scăderi cu P%==

Dacă un număr x crește, respectiv scade cu p%, atunci :
<br />
<br />
Cand creste devine: x+<math>\tfrac{p}{100}</math> x=(1+<math>\tfrac{p}{100}</math>)x=(<math>\tfrac{100}{100}</math>+<math>\tfrac{p}{100}</math>)x=<math>\tfrac{100+p}{100}</math>x=(100+p)%x .
<br />
<br />
Cand scade devine : x-<math>\tfrac{p}{100}</math> x=(1-<math>\tfrac{p}{100}</math>)x=(<math>\tfrac{100}{100}</math>-<math>\tfrac{p}{100}</math>)x=<math>\tfrac{100-p}{100}</math> x=(100-p)%x.

==Proporții==

Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
<br />
<br />
Dacă rapoartele <math>\tfrac{a}{b}</math>  și  <math>\tfrac{c}{d}</math> au aceeași valoare, ele formează proporția <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> , iar numerele a,b,c,d se numesc termenii proporției.
<br />
<br />
Termenii a si d se numesc extremi, iar termenii b si c se numesc mezi. 
<br />

'''Proprietatea fudamentală a proporțiilor''' 
<br />
Într-o proporție produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
<br />
<math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> <=> ad=bc,unde b≠0 și d≠0
<br />
Reciproc, daca numerele a,b,c,d verifică relația ad=bc , atunci ele pot fi termenii unei proporții.
<br />
<br />
'''Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție''' 
<br />
Dacă într-o proporție un singur teremen este necunoscut, din proprietatea fundamentală a proporției , acesta se poate determina astfel :
<br />
un extrem = <math>\tfrac{produsul  mezilor}{celalalt  extrem}</math> sau un mez = <math>\tfrac{produsul  extremilor}{celalalt  mez}</math>

==Proporții Derivate==

'''1.Proporții derivate cu aceeași termeni :'''
<br />
<br />
'''a.'''   <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{d}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{a}</math>  (schimbarea extremilor între ei)
<br />
<br />
'''b.'''   <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{c}</math> = <math>\tfrac{b}{d}</math> (schimbarea mezilor între ei)
<br />
<br />
'''c.'''  <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{b}{a}</math> = <math>\tfrac{d}{c}</math> inversarea fiecărui raport
<br />
<br />
'''2.Proporții derivate cu alți termeni :'''
<br />
<br />
'''a1.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{a+c}{b+d}</math>; '''a2.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{a-c}{b-d}</math>, în cazul b≠d
<br />
<br />
'''b1.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{a+b}</math> = <math>\tfrac{c}{c+d}</math>; '''b2.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{a-b}</math> = <math>\tfrac{c}{c-d}</math>,î𝑛 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑎≠𝑏
<br />
<br />
'''c1.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a+b}{b}</math> = <math>\tfrac{c+d}{d}</math>; '''c2.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a-b}{b}</math> = <math>\tfrac{c-d}{d}</math>
<br />
<br />
'''d1.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{nc}{nd}</math>; '''d2.''' <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{a}{mb}</math> = <math>\tfrac{c}{md}</math>, unde m≠0 și n≠0
<br />
<br />
'''e.'''  <math>\tfrac{a}{b}</math> = <math>\tfrac{c}{d}</math> => <math>\tfrac{ka}{ma+mb}</math> = <math>\tfrac{kc}{mc+nd}</math>, unde k,m,n ϵ ''Q''<sub>+</sub> astfel încât ma+nb≠0
<br />
<br />
'''Exemple'''
<br />
<br />
'''a1.''' <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{6}{9}</math> => <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{2+6}{3+9}</math> => <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{8}{12}</math>; '''a2.''' <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{6}{9}</math> => <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{6-2}{9-3}</math> => <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{4}{6}</math>
<br />
<br />
'''b1.''' <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{6}{9}</math> => <math>\tfrac{2}{2+3}</math> = <math>\tfrac{6}{6+9}</math> => <math>\tfrac{2}{5}</math> = <math>\tfrac{6}{15}</math>; '''b2.''' <math>\tfrac{2}{3}</math> = <math>\tfrac{6}{9}</math> => <math>\tfrac{2}{3-2}</math> = <math>\tfrac{6}{9-6}</math> => <math>\tfrac{2}{1}</math> = <math>\tfrac{6}{3}</math>
<br />
<br />
'''c1.''' <math>\tfrac{5}{4}</math> = <math>\tfrac{5}{12}</math> => <math>\tfrac{5+4}{4}</math> = <math>\tfrac{15+12}{12}</math> => <math>\tfrac{9}{4}</math> = <math>\tfrac{27}{12}</math>; '''c2.''' <math>\tfrac{5}{4}</math> = <math>\tfrac{5}{12}</math> => <math>\tfrac{5-4}{4}</math> = <math>\tfrac{15-12}{12}</math> => <math>\tfrac{1}{4}</math> = <math>\tfrac{3}{12}</math>
<br />
<br />
'''d1.''' <math>\tfrac{2}{7}</math> = <math>\tfrac{6}{21}</math> => <math>\tfrac{2}{7}</math> = <math>\tfrac{5 \cdot 6}{5 \cdot 12}</math> => <math>\tfrac{2}{7}</math> = <math>\tfrac{30}{105}</math>; '''d2.''' <math>\tfrac{2}{7}</math> = <math>\tfrac{6}{21}</math> => <math>\tfrac{2}{4 \cdot 7}</math> = <math>\tfrac{6}{4 \cdot 21}</math> => <math>\tfrac{2}{28}</math> = <math>\tfrac{6}{84}</math>
<br />
<br />
'''e.'''  <math>\tfrac{5}{3}</math> = <math>\tfrac{10}{6}</math> => <math>\tfrac{2 \cdot 5}{4 \cdot 3 + 7 \cdot 5}</math> = <math>\tfrac{2 \cdot 10}{4 \cdot 6 + 7 \cdot 10}</math> => <math>\tfrac{10}{47}</math> = <math>\tfrac{20}{94}</math>
<br />
<br />

==Șir de rapoarte egale==

Mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale :

<math>\frac{a_1}{b_1}</math> = <math>\frac{a_2}{b_2}</math> = ... = <math>\frac{a_n}{b_n}</math> .
<br />
<br />
'''Proprietatea 1.'''  <math>\frac{a_1}{b_1}</math> = <math>\frac{a_2}{b_2}</math> = ... = <math>\frac{a_n}{b_n}</math> = <math>\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+..+b_n}</math> , unde ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> + ... + ''b''<sub>n</sub> ≠ 0 .
<br />
<br />
Exemplu: <math>\tfrac{3}{7}</math> = <math>\tfrac{6}{14}</math> = <math>\tfrac{30}{70}</math> = <math>\tfrac{3 + 6 + 30}{7 + 14 +70}</math> = <math>\tfrac{39}{91}</math>.
<br />
<br />
'''Proprietatea 2.''' <math>\frac{a_1}{b_1}</math> = <math>\frac{a_2}{b_2}</math> = ... = <math>\frac{a_n}{b_n}</math> = <math>\frac{a_1k+a_2m+...+a_nr}{b_1k+b_2m+..+b_nr}</math> , unde ''b''<sub>1</sub>k + ''b''<sub>2</sub>m + ... + ''b''<sub>n</sub>r ≠ 0 .
<br />
<br />
Exemplu: <math>\tfrac{5}{2}</math> = <math>\tfrac{10}{4}</math> = <math>\tfrac{5}{6}</math> = <math>\tfrac{5 \cdot 3 + 10 \cdot 7 + 15 \cdot 6}{2 \cdot 3 + 4 \cdot 7 + 6 \cdot 6}</math> = <math>\tfrac{175}{70}</math>.
<br />
<br />