Vizualizare sursă pentru „Probleme cu derivate și nu numai/Continuitatea funcțiilor”

==Ce înseamnă ''funcție continuă?''==
<br/>
Fie funcția <math> f:E \to \mathbb{R}</math>   și   <font style="vertical-align:22%;"><math> a \in E \cap E'.</math></font>  Se spune că funcția <math>f\!</math> '''este continuă în punctul ''a'',''' dacă există <math> \lim_{x \to a}f(x) </math> și <math>\lim_{x \to a}f(x) = f(a).</math>

Punctul '''''a''''' se numește '''punct de continuitate''' pentru funcția <math>f\!</math>.


O funcție <math> f:E \to \mathbb{R}</math> '''este discontinuă în punctul''' <math> a \in E,</math> dacă nu este continuă în acest punct.

Punctul '''''a''''' se numește '''punct de discontinuitate''' al funcției <math>f\!</math>.


== Un exemplu simplu: ==

Studiați continuitatea funcției <math> f(x) = \begin{cases} x^3, & \mbox{pentru }x \le 3 \\ 3x^2, & \mbox{pentru }x>3 \end{cases}</math>  în punctul <font style="vertical-align:15%;"><math>a=3 \!</math></font>

Pentru ca funcția să fie continuă în punctul '''''a = 3''''' trebuie îndeplinite, conform definiției, două condiții:
* să existe <math> \lim_{x \to a}f(x) </math>.

* <math> \lim_{x \to a}f(x) </math> să fie egală cu <math>f(3)\!</math>.

În cazul în care prima condiție nu este îndeplinită, atunci funcția nu este continuă în acel punct.
Pentru a verifica această primă condiție, a existenței limitei, se calculează limitele laterale în punctul '''''a = 3,''''' astfel:

<math>l_s(3)=\lim_{x \nearrow 3}f(x) = \lim_{x \nearrow 3}x^3=27</math>

<math>l_d(3)=\lim_{x \searrow 3}f(x) = \lim_{x \searrow 3}3x^2=27</math>

Deci, limita există, <font style="vertical-align:-17%;"><math>\lim_{x \to 3}f(x)=27.</math></font>

Acum trebuie să calculăm valoarea funcției '''în''' punctul '''x = 3,''' astfel:
<font style="vertical-align:7%;"><math> f(3)=x^3=27.\!</math></font>

Observăm că <font style="vertical-align:-17%;"><math>\lim_{x \to 3}f(x)=27=f(3),</math></font> deci funcția  <math>f\!</math> este '''continuă''' în punctul '''a = 3'''.


== ''Continuitate'' vs ''discontinuitate''... ==
Fie <font style="vertical-align:9%;"><math>x=a \in E </math></font> punct de discontinuitate pentru <math>f.\!</math> 
*Punctul se numește '''punct de discontinuitate de ''speța întâi''''' pentru funția <math>f,\!</math> dacă are limite laterale finite în '''a.'''
*Punctul se numește '''punct de discontinuitate de ''speța a doua''''' pentru funția <math>f,\!</math> dacă nu este punct de discontinuitate de speța întâi, adică dacă cel puțin una din limitele laterale <math>l_s(a), l_d(a)\!</math> nu există sau este infinită.

== Exemple de funcții continue: == 
Dacă funcția <math>f\!</math> este continuă în orice punct al domeniului de definiție, atunci spunem că '''funcția este continuă,''' fără a mai indica mulțimea pe care <math>f\!</math> are această proprietate.

'''Funcțiile elementare''' sunt funcții continue. 
Funcțiile elementare sunt următoarele:
* Funcția polinomială
* Funcția rațională
* Funcția radical
* Funcția putere
* Funcția exponențială
* Funcția logaritmică
* Funcțiile trigonometrice directe ''sin, cos, tg, ctg''
* Funcțiile trigonometrice inverse ''arcsin, arccos, arctg, arcctg''