Vizualizare sursă pentru „Analiză matematică/Serii de numere/Exerciții”

'''1.'''
Dacă seria <math> \sum_{n=2}^{\infty} |x_n - x_{n-1}|, </math> (unde <math> (x_n)_{n \ge 1} </math> este un șir real) este convergentă, atunci șirul <math> (x_n)_{n \ge 1} </math> este convergent.
Să se dea un exemplu din care să rezulte că reciproca nu este adevărată.

'''R.'''
Fie <math> S_n = \sum_{k=2}^{n} |x_k - x_{k-1}|. </math>

Cum <math> \sum_{n=2}^{\infty} |x_n - x_{n-1}| </math> este convergentă, rezultă că <math> (S_n)_n </math> este convergent, deci este [[w:șir Cauchy|șir <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Cauchy</span>]] deci este convergent. 

Contraexemplu: <math> x_n= \frac {(-1)^n}{n} </math> este convergent la zero, dar <math> \sum_{n=2}^{\infty} |x_n - x_{n-1}| \sim  \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1n = \infty. </math>
--------
'''2.'''
Să se demonstreze că, dacă <math> \sum_{n=1}^{\infty} u_n </math> e convergentă cu <math> u_n >0, \; \forall n \in \mathbb N, </math> șir monoton descrescător, atunci <math> \lim_{n \to \infty} nu_n = 0. </math>

'''R.'''
Din <math> \sum_{n=1}^{\infty} u_n </math> convergentă rezultă <math> (s_n)_n </math> convergent, deci <math> (s_n)_n </math> este șir <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Cauchy</span> adică:
::<math> \forall \varepsilon >0 , \; \exists n_{\varepsilon} \ge 1 </math> astfel încât <math> |s_n - s_{n_{\varepsilon}}| < \frac {\varepsilon}{2}, \; \forall n \ge n_{\varepsilon}. </math>

Rezultă <math> |u_{n_{\varepsilon} +1} + \cdots + u_n| <  \frac {\varepsilon}{2} </math>
și deci, deoarece <math> u_n </math> este descrescător, <math> (n- n_{\varepsilon}) u_n < \frac {\varepsilon}{2}. </math>

Fie <math> n> 2 n_{\varepsilon}. </math>
Rezultă <math> n- n_{\varepsilon} >  n - \frac {n}{2} = \frac {n}{2}.</math>

Deci:
::<math> \frac n2 < (n-n_{\varepsilon}) u_n < \frac {\varepsilon}{2}. </math>
Așadar pentru orice <math> \varepsilon >0 </math> există un <math> N_{\varepsilon} = 2n_{\varepsilon} </math> astfel încât <math> \forall n> N_{\varepsilon} </math> să existe relația <math> nu_n < \varepsilon, </math> ceea ce este echivalent cu <math> \lim_{n \to \infty} nu_n=0. </math>

-------------

'''3)'''
Să se determine natura următoarelor serii definite de șirul <math> x_n </math>:

'''a)''' <math> x_n = \frac {1}{n!}; </math>

'''b)''' <math> x_n = \frac {1}{n \sqrt {n+1} }; </math>

'''c)''' <math> x_n = \frac { \sqrt [3] {n+1} - \sqrt [3] n }{n^a}, \; a \in \mathbb R. </math>

'''R.'''
'''a)'''
Seria este convergentă; se utilizează [[w:Criteriile de comparație|criteriul comparației]]:

::<math> x_n \le \frac {1}{2^n}, \; \forall n \ge 4. </math>

'''b)'''
Seria este convergentă, conform criteriului de comparație la limită:

::<math> \lim_{n \to \infty} n^{\frac 32} x_n =1. </math>

'''c)'''
Avem:

::<math> \lim_{n \to \infty} n^{\alpha} x_n = \lim_{n \to \infty} n^{\alpha} \frac {1}{ n^a ( \sqrt[3] {(n+1)^2}  + \sqrt[3] {n (n+1)} + \sqrt[3] {n^2} ) }. </math>

Se alege <math> \alpha = a + \frac 23 </math> și se obține limita <math> \frac 13 .</math>
Conform criteriului de comparație la limită, seria este convergentă dacă și numai dacă <math> a > \frac 13. </math>
------------

'''4.'''
Să se arate că următoarele serii sunt divergente:

:'''a)''' <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{\sqrt {n + \alpha} + \sqrt {n+ \alpha +1}}, \; \alpha >0 </math>
:'''b)''' <math> \sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac {3n-1}{3n+2}. </math>
:'''c)''' <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac {3^n + 8^n}{3^{n+1} + 8^{n+1}}. </math>

'''R.'''
:'''a)''' Considerăm șirul sumelor parțiale:
::<math> S_n = \sum_{k=1}^n \frac {1}{ \sqrt {k+ \alpha} + \sqrt {n + \alpha +1} } = \sum_{k=1}^n \frac {\sqrt {k+ \alpha} - \sqrt {k+ \alpha +1} }{-1}=</math> 
:<math>= - \sqrt {1+ \alpha} + \sqrt {2 + \alpha} - \sqrt {2+ \alpha} + \sqrt {3+ \alpha} - \cdots - \sqrt {n+ \alpha} + \sqrt {n+ \alpha +1}  \; \Rightarrow </math>
:<math> \Rightarrow \; S_n = \sqrt {n+ \alpha + a} - \sqrt {1+ \alpha } \; \Rightarrow \; \lim_{n \to \infty} S_n = \infty </math>
:'''b)''' &nbsp; <math> S_n = \sum_{k=1}^n \ln \frac {3k-1}{3k+2} = \sum_{k=1}^n \left [ \ln (3k-1) - \ln (3k+2)  \right ] = </math>
:<math> = \ln 2 - \ln 5 + \ln 5 - \ln 8 + \cdots + \ln (3n -1) - \ln (3n+2) = \ln 2 - \ln (3n+2) \; \Rightarrow \; \lim_{n \to \infty} S_n= \infty. </math>
:'''c)''' &nbsp; <math> \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac {8^n \Bigg (  \bigg ( \dfrac 38  \bigg )^n + 1 \Bigg )}{8^{n+1} \Bigg (  \bigg ( \dfrac 38 \bigg )^{n+1} +1  \Bigg )} = \frac 18 \neq 0. </math>
Conform criteriului suficient de divergență, seria este divergentă.
------------

'''5.'''
Să se verifice dacă următoarele serii sunt convergente, în care caz să se determine limita acestora:
:'''a)''' &nbsp; <math> \sum_{n \ge 1} \frac {1}{n(n+1)}; </math> &nbsp; &nbsp; '''b)''' &nbsp; <math> \sum_{n \ge 1} \frac {n}{3^n}; </math> &nbsp; &nbsp; '''c)''' <math> \sum_{n \ge 1} \ln \frac {n+1}{n}. </math>

'''R.'''
:'''a)''' &nbsp; <math> x_n = \frac {1}{n(n+1) } = \frac 1n - \frac {1}{n+1}, \; \forall n \in \mathbb N^*. </math>

::<math> s_n = \sum_{k=1}^n x_k = \sum_{k=1}^n \left ( \frac 1k - \frac {1}{k+1} = 1 - \frac {1}{n+1}, \; \forall n \in \mathbb N^*. \right ) </math>

Evident, <math> \lim_{n \to \infty} s_n = 1. </math>
Prin urmare, seria dată este convergentă și suma sa este:
::<math> s= \sum_{n=1}^{\infty} x_n = 1. </math>

:'''b)''' &nbsp; <math> x_n = \frac {n}{3^n}, \; n \in \mathbb N^* </math> deci
::<math> s_n = \sum_{k=1}^n \frac {k}{3^k} = \frac 13 + \frac {2}{3^2} + \cdots + \frac {n-1}{3^{n-1}} + \frac {n}{3^n}. </math>

::<math> s_n = \frac 13 + \left ( \frac {1}{3^2} + \frac { 1} {3^2} \right ) + \left ( \frac {1}{3^3}+ \frac {1}{3^3} + \frac {1}{3^3}  \right ) + \cdots + \underset {\text {n termeni}} {\underbrace{ \displaystyle  \left ( \frac {1}{3^n} + \frac {1}{3^n} + \cdots + \frac {1}{3^n} \right )}}.  </math>

Deci:

::<math> s_n = \sum_{k=1}^n \left ( \frac {1}{3^k} + \frac {1}{3^{k+1}} + \cdots + \frac {1}{3^n} \right )  = \sum_{k=1}^n \frac {1}{3^k} \cdot \frac {\dfrac {1}{3^{n-k}} \cdot \dfrac 13 -1}{\dfrac 13 -1} = \frac 32 \sum_{k=1}^n \frac {1}{3^k} \left (  1 - \frac {1}{3^{n-k+1}} \right ) =</math>

::<math> = \frac 32 \left [ \sum_{k=1}^n \frac {1}{3^k} - \sum_{k=1}^n \frac {1}{3^{n+1}}  \right ] = \frac 32 \left [ \dfrac {\dfrac{1}{3^n} \cdot \dfrac 13 - \dfrac 13 }{\dfrac 13 -1} - \frac {n}{3^{n+1}} \right ], \; \forall n \in \mathbb N^*. </math>

Deoarece <math> \lim_{n \to \infty} \frac {1}{3^n} =0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac {n}{3^n}=0 </math> rezultă: <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac {n}{3^n} = \frac 34. </math>

:'''c)''' &nbsp; <math> x_n = \ln \frac {n+1}{n} = \ln (n+1) - \ln n. </math>

::<math> s_n = \sum_{k=1}^n \ln \frac {k+1}{k} = \sum_{k=1}^n \left [ \ln (k+1) - \ln k  \right ]  = \ln (n+1), \; \forall n \in \mathbb N^*.</math>

Dar <math> \lim_{n \to \infty} \ln (n+1) = \infty, </math> deci șirul sumelor parțiale este divergent, de unde rezultă că seria este divergentă.

''Observație.''
Se observă că <math> \lim_{n \to \infty} x_n =0, </math> deci această condițiea este necesară, dar nu și suficientă pentru convergența unei serii.
------------
'''6.'''
Să se aproximeze sumele seriilor următoare cu o eroare mai mică de <math> 10^{-2}: </math>

'''a)''' &nbsp; <math> \sum_{n \ge 1} \frac {1}{n^n},  </math> &nbsp; '''b)''' &nbsp; <math> \sum_{n \ge 1} (-1)^n \cdot \frac {1}{n^n} ,</math> &nbsp; '''c)''' &nbsp; <math> \sum_{n \ge 1} \frac {1}{(n!)^2}. </math>

'''R.'''
:'''a)''' Dacă notăm <math> x_n = \frac {1}{n^n}, \; n \in \mathbb N^*, </math> atunci <math> \sqrt[n] {x_n} = \frac 1n \le \frac 12, </math> pentru orice <math> n \ge 2. </math>
Atunci rezultă că pentru orice <math> n \ge 2 </math> are loc <math> |s- s_n| \le \frac {\left (  \dfrac 12 \right )^{n+1}}{1- \dfrac 12}, </math>

unde <math> s </math> este suma seriei, iar <math> s_n</math> este suma parțială de ordinul <math> n. </math>

Deci <math> |s-s_n| \le \frac {1}{2^n}, \; \forall n \ge 2. </math>
Pentru ca <math> s_n </math> să aproximeze <math> s </math> cu o eroare mai mică decât <math> 10^{-2} </math> este suficient să determinăm cel mai mic rang <math> n </math> care satisface inegalitatea <math>  \frac {1}{2^n} < \frac {1}{10^2}. </math>

Se obține <math> n=7 </math> deci <math> s \approx s_7 = 1,291285935 </math> cu două zecimale exacte.

:'''b)''' Deoarece <math> \frac {1}{10^n} < \frac {1}{10^2} </math> pentru orice <math> n \ge 4 </math> rezultă că:

::<math> 0< s-s_3 < \frac {1}{4^4} < \frac {1}{10^2}, \; 0< s_4-s < \frac {1}{5^5}< \frac {1}{10^2}. </math>
Deci <math> s_3=-0,7870370370  </math> aproximează pe <math> s </math> prin lipsă, iar <math> s_4 = -0,7831307870 </math> prin adaos, ambele cu o eroare mai mică de <math> 10^{-2}. </math>

:'''c)''' Dacă notăm <math> x_n = \frac {1}{(n!)^2}, \; n \in \mathbb N^* </math> atunci <math> \frac {x_{n+1}}{x_n} = \frac {1}{(n+1)^2} \le 4 </math> pentru orice <math> n \ge 1 </math> de unde rezultă evaluarea:

::<math> 0 < s-s_n \le \frac {1}{(n!)^2}, </math> adică <math> 0< s-s_n \le \frac {1}{(n!)^2} \cdot \frac 13, \; \forall n \ge 1. </math>

Cum <math> \frac {1}{(n!)^2} \cdot \frac 13 < 10^{-2}, \; \forall n \ge 3 </math> rezultă că <math> s \approx s_3 = 1,277777778. </math>

{{Analiză matematică}}