Vizualizare sursă pentru „Analiză matematică/Integrale duble/Exerciții”

[[Fișier:Calculul unui volum 98eujhdfn.png|right|300px]]
'''1.'''
Să se afle volumul solidului <math> S </math> mărginit de paraboloidul eliptic <math> x^2 + 2y^2 = 16, </math> de planele <math> x=2, \; y=2 </math> şi cele trei plane de coordonate.

'''R.'''
Se observă că <math> S </math> este solidul care rămâne între suprafaţa <math> z=16 - x^2 - 2y^2 </math> şi deasupra pătratului <math> R = [0, 2] \times [0, 2]. </math>
Folosind teorema lui [[:ro:w:Guido Fubini|<span style="font: italic bold small-caps 1.2em sans-serif;">Fubini</span>]], rezultă:

::<math> \iint_\mathbf{R} (16- x^2 -2y^2) dA = \int_0^2 \int_0^2 (16- x^2 -2y^2)  dx dy = </math>
::<math> = \int_0^2 (16 x -\frac {x^3}{3} - 2y^2 x) \Bigg \vert _0^2 dy = \int_0^2 \left ( \frac {88}{3} - 4y^2  \right ) dy = 48 . </math>
-------------------
[[Fișier:Calculul unei integrale duble 098uygvbn.png|right|300px]]
'''2.'''
Să se calculeze integrala dublă:
::<math> \iint_D (x^2 + y^2) dx dy </math>, <math> D </math> fiind domeniul limitat de cercul de ecuaţie <math> x^2 + y^2 = 2ax. </math>

'''R.'''
Ecuaţia domeniului <math> D </math> se mai poate scrie:
::<math> (x-a)^2 +y^2 = a^2, </math>
deci aceasta defineşte cercul cu centrul în punctul de coordonate <math> (a, 0) </math> şi de rază <math> a. </math>
Deci este convenabil să utilizăm coordonatele polare pentru calculul integralei duble date.

Se face schimbarea de variabile <math> (x, y) \to (r , \theta) </math>, dată prin transformarea <math> \begin{cases} x-a = r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{cases} </math>

Noul domeniu de integrare (''domeniul transformat'') este:
::<math> D^* = \{  (x, y) \in \mathbb R^2 |  0 \le r \le a , \; 0 \le \theta \le 2 \pi \}. </math>

Jacobianul acestei transformări este:

::<math> J= \frac {D(x, y)}{D(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac {\partial x}{\partial r} & \frac {\partial x}{\partial \theta} \\ \frac {\partial y}{\partial r} & \frac {\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}  = \begin{vmatrix} \cos \theta & - r \cdot \sin \theta \\ \sin \theta & r \cdot \cos \theta \end{vmatrix} = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r, </math>
iar <math> x^2 + y^2 = a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 . </math>

Integrala de calculat devine:
::<math> \iint_D (a^2 + 2ar \cos \theta + r^2) r dr d \theta  = \int_{0}^{a} \left [ \int_{0}^{2 \pi} (a^2 r + 2ar^2 \cos \theta + r^3) d \theta \right ] dr = 2 \pi \int_0^a (a^2 r + r^3) dr = \frac {3 \pi a^4}{2}. </math>
---------------